Как рассчитать время диффузионного насыщения стали по второму закону Фика: формулы, пример и ограничения

Краткий ответ. В простейшей модели диффузионного насыщения полубесконечного тела при постоянном коэффициенте диффузии D и постоянной концентрации на поверхности распределение вещества определяется дополнительной функцией ошибок erfc. Характерная глубина изменяется пропорционально √(D·t), поэтому удвоение такой глубины при неизменном D требует примерно четырёхкратной выдержки. Это справедливо для заданной физико-математической модели; реальный режим цементации или азотирования требует учёта поверхностных реакций, температурной зависимости D, фазового состава, толщины детали и последующей термообработки. [1–4]

Что именно рассчитывается: концентрационный, а не твёрдостной профиль

При химико-термической обработке углерод или азот поступает к поверхности и далее перераспределяется по глубине. Для описания этого процесса вводят концентрацию C(x,t), где x — координата от поверхности, а t — время. При известном коэффициенте диффузии D можно оценить, насколько далеко распространилось концентрационное возмущение.

Однако глубина, где концентрация достигла условных 0,4 или 0,5 доли от разницы поверхностного и исходного значения, не обязана совпадать с глубиной цементованного и закалённого слоя по твёрдости (CHD). Химический профиль дополнительно преобразуется в конечную микроструктуру в ходе закалки и отпуска, а азотирование формирует фазы, выделения и нитридный слой. ISO 4885:2026 разделяет химические и твёрдостные характеристики, ISO 18203:2026 задаёт методы измерения слоёв в зависимости от обработки. [1, 2]

Применение аналитической модели особенно полезно на стадии оценки порядка величин, сравнения длительностей при одинаковой температуре, анализа чувствительности и проверки численной модели на простом частном случае.

Первый и второй законы Фика

В одномерном случае при изотропной диффузии поток вещества записывается как:

J = −D · ∂C/∂x,

где J — поток вещества через единицу площади в единицу времени, а D — коэффициент диффузии, м²/с. Знак минус означает направление переноса от более высокой концентрации к низкой.

Если сохранение вещества выполняется, нет объёмных источников и D не зависит от концентрации, температуры и координаты, уравнение принимает вид:

∂C/∂t = D · ∂²C/∂x².

Это второй закон Фика. Он требует начальных и граничных условий; одной записи уравнения недостаточно, чтобы вычислить время. Если D зависит от C или температуры, простое аналитическое решение обычно перестаёт подходить.

Аналитическое решение для полубесконечного тела

Рассмотрим модель с условиями:

• исходная концентрация одинакова по всему объёму: C(x,0) = C₀;
• в момент начала диффузии на поверхности поддерживается постоянная концентрация: C(0,t) = Cₛ;
• тело считается полубесконечным в направлении x > 0;
• коэффициент D постоянен в пространстве и во времени.

Тогда концентрация в момент времени t > 0:

C(x,t) = C₀ + (Cₛ − C₀) · erfc[x/(2√(D·t))].

Удобно ввести безразмерную нормированную концентрацию:

u(x,t) = (C − C₀)/(Cₛ − C₀) = erfc[x/(2√(D·t))].

При x = 0 значение u = 1, вдали от поверхности u → 0. Если выбран некоторый порог u* внутри интервала (0; 1), то искомая глубина:

x* = 2 · erfcinv(u*) · √(D·t),

где erfcinv — обратная дополнительная функция ошибок. Обращая выражение, получаем время:

t = [x*/(2·erfcinv(u*))]² / D.

Все размеры должны быть выражены в согласованных единицах: x в метрах, D в м²/с, t в секундах. Произвольная подстановка глубины в миллиметрах при D в м²/с приводит к ошибке в миллионы раз.

Полный расчёт на условных данных

Задача. В идеализированной модели поддерживается постоянная поверхностная концентрация. Требуется определить время, при котором на глубине x* = 0,60 мм нормированная концентрация будет равна u* = 0,40. Условно зададим D = 1,0×10⁻¹¹ м²/с — не паспортное и не рекомендованное значение для определённой стали.

Исходные данные:

Подстановка в формулу:

t = [(6,0×10⁻⁴)/(2×0,595116)]² / (1,0×10⁻¹¹).

Получаем t ≈ 25 412 с ≈ 7,06 ч. Проверка прямой подстановкой в выражение для u даёт 0,40 с округлением. Это время математической модели, а не готовый цикл цементации реальной детали. Здесь не учтены прогрев, изменение химического потенциала атмосферы, выход на установившиеся условия и закалка.

Как действует правило квадратного корня

При одном и том же пороге u* и постоянном коэффициенте D глубина пропорциональна корню из времени: x* ∝ √t. Поэтому:

t₂/t₁ = (x₂/x₁)², если D₂ = D₁.

Если в условной модели при t₁ = 2 ч достигнута некоторая глубина x₁, то при t₂ = 8 ч глубина того же концентрационного порога станет x₂ = 2 x₁. И наоборот, чтобы увеличить глубину на 50 %, потребуется увеличить время примерно в 1,5² = 2,25 раза. Это не означает, что назначать любое время цементации можно такой пропорцией: при другой температуре или изменяющемся углеродном потенциале меняется коэффициент переноса и граничные условия.

Почему температура существенно меняет результат

Диффузионные коэффициенты часто описывают зависимостью типа Аррениуса:

D(T) = D₀·exp[−Q/(R·T)],

где D₀ — предэкспоненциальный коэффициент, Q — энергия активации, Дж/моль, R = 8,314 Дж/(моль·К) — газовая постоянная, T — абсолютная температура, К.

Эту зависимость нельзя применять, подставляя температуру в градусах Цельсия. D₀ и Q подбираются для конкретной диффузионной системы, температурного интервала и фазового состояния. Для азота в феррите, углерода в аустените и диффузии в нитридной фазе параметры различаются. Нельзя брать опубликованный D для одного материала и режима и без проверки использовать его для другого.

Если температура меняется во времени, формула с D·t в некоторых идеализированных случаях обобщается через интеграл ∫D(T(t)) dt; но при одновременном изменении состава, фаз и поверхностного обмена требуются соответствующие уравнения и численный расчёт.

Где решение erfc перестаёт быть надёжным

Наиболее частая практическая ошибка — взять учебную √(D·t) и объявить результат «рассчитанной глубиной цементации по стандарту». Стандартная эффективная глубина — результат оценки по утверждённому критерию и методу, а не просто условная длина диффузии.

Как применить расчёт в технологической разработке

На предварительной стадии фиксируют марку, ожидаемый температурный интервал и литературные кинетические параметры, относящиеся именно к используемой фазе. Далее выбирают модель геометрии и граничных условий, оценивают концентрационные профили в разных точках, уточняют режимы насыщения и выдержки. После пробного процесса измеряют химический профиль или твёрдость на представительном шлифе, сравнивают с прогнозом и калибруют параметры.

На втором этапе учитывают реальную загрузку, температурную неравномерность, прогрев сердцевины, ограничение роста зерна, последующую закалку и припуски. Для ответственных деталей желательно документировать не только вычисленную глубину, но и границы достоверности модели, методику испытаний и реальные контрольные точки.

Вывод. Закон Фика позволяет воспроизводимо связать глубину, температуру, время и концентрацию в заданной модели. Но готовый производственный цикл должен быть подтверждён измерением конечного упрочнённого слоя, а не только решением дифференциального уравнения.

Проверяемые источники

1. ISO 4885:2026. Ferrous materials — Heat treatments — Vocabulary.
2. ISO 18203:2026. Steel — Determination of the thickness of surface-hardened layers.
3. O. K. Rowan, G. D. Keil. Gas Carburizing. ASM Handbook, Vol. 4A.
4. E. J. Mittemeijer. Fundamentals of Nitriding and Nitrocarburizing. ASM Handbook, Vol. 4A.
5. Fick's laws of diffusion: definitions and semi-infinite analytical model (introductory reference).

Связанные материалы FitsCalc

• Цементация стали.
• Закаливаемость и прокаливаемость.
• Разработка технологического процесса детали.