Кинематические пары и степени свободы

Свобода тела и свобода относительного движения

Свободное твёрдое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: три поступательных перемещения и три вращения. В плоской модели достаточно трёх координат — двух перемещений и одного угла. Кинематическая пара ограничивает относительное движение двух звеньев. Она не задаёт автоматически положение каждого звена относительно стойки: оба звена могут одновременно перемещаться в составе механизма.

Звеном считают тело или жёстко соединённую совокупность деталей, движение которой рассматривают как движение одного твёрдого тела. Вал, закреплённое на нём колесо и ступица могут образовывать одно звено, хотя в спецификации это разные детали. Стойка объединяет неподвижные части модели. Перед подсчётом пар следует определить именно кинематические звенья, иначе число деталей будет ошибочно принято за число независимых тел.

Какие движения допускают пары

Для идеальной вращательной пары R относительное движение сводится к повороту вокруг одной оси. Для поступательной пары P — к перемещению вдоль одного направления. Обе пары имеют одну относительную степень свободы. В пространстве они накладывают пять связей и относятся к пятому классу в классификации по числу запрещённых движений. В плоской модели каждая из них исключает две из трёх свобод тела.

Таблицу можно прокручивать по горизонтали →

Низшие пары моделируют поверхностный контакт, высшие — контакт по линии или точке. Однако сама форма контакта не определяет число независимых движений во всякой задаче. Например, условие качения без проскальзывания добавляет ограничение скорости по сравнению со свободным скольжением. Для кулачка надо уточнить, сохраняется ли контакт и допускается ли отрыв. Для зубчатого зацепления задают конкретную связь углов движения.

От пары к подвижности механизма

В обычном плоском механизме подвижность оценивают как M=3n−2p5−p4. Здесь n — число подвижных звеньев без стойки; p5 — число одноподвижных пар, накладывающих две плоские связи; p4 — число пар, накладывающих одну плоскую связь. Индексы обозначают пространственный класс в принятой классификации, а не количество свобод в плоскости. Если N включает стойку, начало формулы записывают 3(N−1).

Эта запись требует независимости учитываемых связей. У параллельных направляющих, геометрически особых компоновок и избыточных опор ограничения могут повторять друг друга. В сингулярной конфигурации ранг системы связей может измениться, а мгновенная свобода — отличаться от обычной подвижности. Поэтому число пар полезно для первичного анализа, но само по себе не доказывает работоспособность на всём ходе.

Пример: кривошипно-ползунный механизм

Модель включает стойку, кривошип, шатун и ползун. Подвижных звеньев n=3. Пары: шарнир кривошипа со стойкой, шарнир кривошипа с шатуном, шарнир шатуна с ползуном и поступательная пара ползуна со стойкой. Таким образом, p5=4, p4=0 и M=3·3−2·4=1. Независимое задание угла кривошипа определяет конфигурацию при выбранной ветви сборки.

При радиусе кривошипа r=40 мм и длине шатуна l=120 мм, без смещения оси направляющей, координата ползуна равна x=r cosφ+√(l²−r²sin²φ) для выбранной правой ветви. При φ=0° получаем x=160 мм, при φ=90° — 113,137 мм, при φ=180° — 80 мм. Ход равен 80 мм. Эти значения проверяют геометрию, а не напряжения или усилие привода.

В крайних положениях мгновенная скорость ползуна при ненулевой скорости кривошипа обращается в нуль. Это не означает исчезновения вращательной пары или изменения числа звеньев. Выбор ползуна как задающего входа вблизи мёртвой точки создаёт трудность обратного определения угла: нужно учитывать ветвь и особенности кинематического преобразования. Такое поведение нельзя объяснять одним только результатом M=1.

Как проверить свою схему

Составьте перечень звеньев и для каждой пары укажите два соединяемых тела, ось или направление и допустимые движения. Несколько подшипников одного вала в упрощённой модели могут совместно реализовывать одну вращательную пару; считать каждый подшипник новым независимым шарниром без анализа ограничений нельзя. Общий шарнир трёх звеньев учитывают как две эквивалентные бинарные пары.

Далее проверьте замкнутые контуры и реальные геометрические ограничения. Люфт, упругость и трение обычно исключены из идеальной кинематической модели, но влияют на точность и силы. После определения подвижности отдельно решают задачу положений, скоростей и ускорений. Наличие одной степени свободы не гарантирует полного оборота кривошипа, отсутствия столкновения деталей или сохранения контакта высшей пары.

Источники и область применения

1. Kevin M. Lynch, Frank C. Park: Modern Robotics, §2.2 — пары и формула подвижности
2. Авторский текст Modern Robotics, глава 2