Два силовых фактора в одном сечении
Вал или стержень может одновременно передавать крутящий момент T и воспринимать изгибающий момент M. Изгиб создаёт продольные нормальные напряжения, кручение круглого сечения — касательные напряжения. Сравнивать каждое из них отдельно с одной и той же допускаемой величиной недостаточно: совместное действие способно вызвать текучесть раньше, чем каждый компонент достигнет своего отдельного предела. Критерий прочности выбирают по материалу и механизму отказа.
Ниже рассматривается сплошной круглый вал из однородного изотропного пластичного металла. Нагрузка статическая, деформации малы, напряжения находятся в упругой области, сечение удалено от уступов и мест контакта. Кручение считается свободным по Сен-Венану. Формулы для круглого вала нельзя переносить на открытый профиль: там распределение касательных напряжений и влияние стеснённой депланации принципиально иные.
Напряжения и критерий Мизеса
Для диаметра d момент сопротивления при изгибе равен W = πd³/32, полярный момент сопротивления при кручении Wp = πd³/16. На наружной поверхности крайние значения составляют σb = M/W и τt = T/Wp. Если изгиб действует в двух плоскостях, для круглого сечения при одном сочетании нагрузки используют результирующий момент M = √(My² + Mz²).
В точке с одним нормальным напряжением σx и касательным τ эквивалентное напряжение Мизеса составляет σVM = √(σx² + 3τ²). Для упругого статического расчёта пластичного металла его сравнивают с допускаемым значением, например σallow = Re/n при заранее обоснованном коэффициенте n. Предел текучести Re берут для реального состояния материала, температуры и технологии. В этой статье коэффициент задаётся только для иллюстрации, а не как нормативное требование.
| Проверка | Что учитывает | Чего не заменяет |
|---|---|---|
| σVM ≤ Re/n | Начало текучести пластичного изотропного металла | Усталость и хрупкое разрушение |
| Крайнее σb | Номинальный изгиб | Концентрацию у перехода диаметра |
| Крайнее τt | Свободное кручение круглого вала | Стеснённое кручение открытого профиля |
| Прогиб и угол закручивания | Работоспособность по жёсткости | Проверку эквивалентного напряжения |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Проверенный пример
Примем d = 40 мм, M = 0,8 кН·м и T = 0,6 кН·м. В единицах Н·мм это 800 000 и 600 000 соответственно. Получаем W = 6283,185 мм³, Wp = 12 566,371 мм³. Номинальное крайнее напряжение изгиба равно 127,324 МПа, напряжение кручения — 47,746 МПа. В точках максимального изгиба на поверхности оба компонента присутствуют одновременно.
Эквивалентное напряжение составляет √(127,324² + 3·47,746²) = 151,824 МПа. Для условного материала с Re = 355 МПа и принятого в примере n = 2 допускаемое значение равно 177,5 МПа. Отношение σVM/σallow равно 0,8553, а отношение Re/σVM равно 2,3382. В рамках указанных допущений номинальная статическая проверка выполняется. Все значения вычислены Python без округления промежуточных величин.
Если назначать диаметр только по этому критерию, получается dmin = [32√(M² + 0,75T²)/(πσallow)]^(1/3). Для данных примера dmin = 37,970 мм. Это математический нижний предел гладкого сплошного вала при выбранных нагрузках и допускаемом напряжении; рабочий размер назначают с учётом посадок, ослаблений, жёсткости и производства, а не округляют автоматически вниз.
Одна точка и одно сочетание нагрузки
В более общем расчёте нельзя объединять максимальное нормальное напряжение из одной точки и максимальное касательное из другой, не указав, что получается оценка. Эквивалентное напряжение рассчитывают из компонент тензора в одной точке. Для круглого гладкого вала крутильное напряжение постоянно по окружности по модулю, поэтому совмещение с крайним изгибом допустимо. При иной геометрии необходимо проверить распределение обоих полей.
Если имеются дополнительные нормальные напряжения или два касательных компонента, применяют полную формулу Мизеса для соответствующего тензора. Продольную силу добавляют к σx со знаком в каждой точке. Гидростатическая составляющая сама по себе не увеличивает напряжение Мизеса, поэтому этот критерий не универсален для всех материалов и условий разрушения. Для хрупких материалов, композитов и сильно анизотропных деталей нужен другой обоснованный критерий.
От статического примера к реальному валу
Шпоночная канавка, резьба, галтель и поперечное отверстие повышают местные напряжения. Коэффициенты концентрации выбирают отдельно для изгиба и кручения; один множитель на весь результат может оказаться неверным. Во вращающемся валу постоянная в пространстве поперечная сила создаёт знакопеременное напряжение в материальной точке. Поэтому даже постоянные внешние нагрузки не гарантируют статического характера напряжений.
Усталостный расчёт требует амплитуд, средних напряжений, характеристики материала и поверхности, масштаба, числа циклов и истории нагрузки. Отдельно проверяют перемещения, угол закручивания, резонансные режимы и устойчивость при сопутствующем сжатии. NASA KSC приводит критерии разрушения как часть анализа комбинированных состояний, но ссылка на документ не делает выбранный здесь коэффициент нормативным и не подтверждает соответствие конкретного изделия его требованиям.
Первичные источники и границы проверки
Материалы ниже служат источниками теории. Численный пример — самостоятельный расчёт FitsCalc; нормативное соответствие изделия по нему не заявляется.