Когда работает формула круглого вала
Кручение возникает, когда внешние нагрузки создают момент относительно продольной оси. В каждом поперечном сечении определяют внутренний крутящий момент T из равновесия отсечённой части. В участке между точками приложения моментов T может оставаться постоянным; при наличии распределённого момента он меняется по длине. Перед расчётом напряжений нужна эпюра T, а не только мощность двигателя или суммарный момент всей установки.
Классическая формула τ(r) = Tr/Jp относится к прямому валу с круглым сплошным или круглым кольцевым сечением из однородного изотропного линейно-упругого материала. Рассматривается область вдали от приложения нагрузки и геометрических переходов. Сечения поворачиваются относительно друг друга, а касательное напряжение меняется линейно с радиусом. Для некруглых сечений простая подстановка геометрического полярного момента в эту формулу неверна.
Геометрия сечения
Полярный момент площади Jp = ∫r²dA имеет размерность длины в четвёртой степени. Для сплошного круга Jp = πD⁴/32, для кольца Jp = π(D⁴ − d⁴)/32. Максимальное напряжение возникает на наружном радиусе R = D/2 и равно τmax = TR/Jp. Полярный момент сопротивления Wp = Jp/R имеет размерность длины в третьей степени и позволяет записать τmax = T/Wp.
| Параметр | Сплошной круг | Кольцо |
|---|---|---|
| Jp | πD⁴/32 | π(D⁴ − d⁴)/32 |
| Wp | πD³/16 | π(D⁴ − d⁴)/(16D) |
| Максимальное напряжение | 16T/(πD³) | 16TD/[π(D⁴ − d⁴)] |
| Угол постоянного участка | φ = TL/(GJp), в радианах | |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Пример: диаметр 40 мм, момент 200 Н·м
Возьмём сплошной вал D = 40 мм под постоянным моментом T = 200 Н·м = 200 000 Н·мм. Его полярный момент площади составляет Jp = π × 40⁴/32 = 251 327,412 мм⁴. Наружный радиус равен 20 мм. Поэтому τmax = 200 000 × 20/251 327,412 = 15,915494 МПа. Тот же результат даёт формула 16T/(πD³).
На оси τ = 0; на радиусе 5 мм напряжение равно 3,978874 МПа, на 10 мм — 7,957747 МПа, на 15 мм — 11,936621 МПа. Эти значения показывают распределение внутри сплошного круга. Для кольцевого вала материала около оси нет: линейный закон используют только в диапазоне от внутреннего до наружного радиуса.
Угол закручивания и жёсткость
Зададим дополнительно G = 80 ГПа и L = 1 м. В согласованных единицах G = 80 000 Н/мм² и L = 1000 мм. Угол закручивания φ = 200 000 × 1000/(80 000 × 251 327,412) = 0,009947 рад, или 0,569932°. Заданное значение G является исходным параметром примера; для реального материала его принимают по данным при рабочей температуре.
При переменных T, G или Jp полный угол равен интегралу ∫T(x)/[G(x)Jp(x)] dx. Для ступенчатого вала суммируют углы участков со знаками. В системе с несколькими источниками момента повороты могут частично компенсироваться. Максимальное напряжение ищут отдельно по участкам: место наибольшего момента не всегда самое опасное, если диаметры различаются.
Почему проверка жёсткости самостоятельна
Вал может иметь допустимые напряжения, но слишком большой поворот для зубчатой передачи, датчика или синхронного привода. Прочность проверяют по допустимым напряжениям, жёсткость — по ограничению угла. В сплошном круге напряжение обратно пропорционально D³, а угол при остальных равных условиях обратно пропорционален D⁴. Поэтому изменение диаметра по-разному влияет на два требования.
В данной статически определимой схеме увеличение G уменьшит поворот, но не изменит напряжение Tr/Jp. При закреплении обоих концов задача может стать статически неопределимой: распределение моментов зависит от жёсткостей и условий совместности поворотов. Тогда материал влияет и на реакции, поэтому переносить вывод о независимости напряжений от G без анализа схемы нельзя.
Ограничения номинального расчёта
Шпоночная канавка, поперечное отверстие, резьба и уступ нарушают гладкую круглую геометрию. Здесь необходим учёт концентрации напряжений и, при циклической работе, усталости. Если вал одновременно изгибается, проверяют совместное напряжённое состояние. Максимальные касательные напряжения от кручения нельзя просто сравнить с пределом текучести при растяжении без выбранного критерия прочности.
Для прямоугольника, открытого тонкостенного профиля и произвольного контура требуется другая модель кручения, учитывающая депланацию и соответствующую жёсткость. Полярный момент площади остаётся геометрической характеристикой, но обычно не совпадает с крутильной постоянной. При пластичности линейное распределение напряжений также изменяется, и приведённое решение перестаёт описывать фактическое состояние.
Первичный источник
- David Roylance, MIT: Shear and Torsion — вывод распределения напряжений, угла закручивания и различие круглых и некруглых сечений.