Кристаллические решётки металлов: ОЦК, ГЦК и ГПУ
Кристаллическая структура определяет взаимное расположение атомов, но сама по себе не задаёт прочность детали. При описании металла необходимо различать решётку, атомный мотив и размер элементарной ячейки. Узлы решётки представляют эквивалентные положения; конкретная структура получается размещением атомов относительно этих узлов. Для расчёта массы ячейки учитывают доли атомов на её границах. Атом в вершине куба принадлежит восьми соседним ячейкам, атом на грани — двум, а внутри ячейки учитывается целиком.
Геометрия трёх распространённых структур
В объёмноцентрированной кубической структуре восемь вершин дают один атом и центральный атом добавляет второй: z = 2. В гранецентрированной кубической структуре вершины дают один атом, шесть граней — ещё три: z = 4. Гексагональную плотноупакованную структуру можно описать стандартной гексагональной ячейкой с двухатомным мотивом. Изображаемая на учебных схемах крупная шестигранная призма имеет в три раза больший объём и содержит шесть атомов; смешивать эти способы подсчёта нельзя.
| Структура | Контакт одинаковых шаров | Координация | Коэффициент упаковки |
|---|---|---|---|
| ОЦК | По пространственной диагонали: 4r = √3 a | 8 | π√3/8 = 0,6802 |
| ГЦК | По диагонали грани: 4r = √2 a | 12 | π/(3√2) = 0,7405 |
| Идеальная ГПУ | a = 2r; c/a = √(8/3) | 12 | π/(3√2) = 0,7405 |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Коэффициент упаковки η вычисляют как суммарный объём неперекрывающихся одинаковых сфер, делённый на объём ячейки. Например, для ОЦК η = 2·(4πr³/3)/a³. Подстановка геометрической связи между a и r сокращает радиус и оставляет безразмерное число. Это модель геометрического заполнения, а не измеренная доля пор в металле: пространство между модельными сферами не является макроскопической пористостью. ГЦК и ГПУ различаются последовательностью укладки плотноупакованных слоёв, хотя имеют одинаковый идеальный коэффициент упаковки.
Условный пример: расчёт плотности
Пусть однокомпонентный модельный металл имеет структуру ГЦК, параметр a = 0,360 нм и молярную массу M = 60,0 г/моль. Эти величины заданы только для примера и не относятся к конкретной марке. Постоянная Авогадро N_A = 6,02214076·10²³ моль⁻¹. Масса ячейки m = zM/N_A, её объём V = a³, поэтому ρ = zM/(N_A a³). В единицах СИ M = 0,0600 кг/моль и a = 3,60·10⁻¹⁰ м.
Получаем V = 4,6656·10⁻²⁹ м³, m = 3,98529·10⁻²⁵ кг и ρ = 8541,87 кг/м³, то есть 8,54187 г/см³. Радиус в модели контакта r = a√2/4 = 0,12728 нм. Умножать найденную плотность ещё раз на коэффициент упаковки нельзя: атомная масса уже полностью учтена в массе ячейки. Для материала с несколькими элементами вместо zM используют сумму вкладов всех атомных позиций с их заселённостью.
Как применять результат
Расчёт полезен для проверки согласованности структурных данных и измеренной плотности. В протоколе следует указывать температуру определения параметра решётки, фазовый состав и используемую ячейку. Если измеренная плотность существенно ниже расчётной, отдельно исследуют пористость, включения и долю второй фазы; расхождение нельзя автоматически объявлять доказательством вакансий. Для многокомпонентного сплава номинальный химический состав ещё не определяет заселённость каждой позиции. Сначала устанавливают модель структуры, затем рассчитывают массу и объём её ячейки.
Идеальное отношение c/a для ГПУ относится к одинаковым касающимся шарам; реальные параметры могут отличаться. Геометрическая упаковка также не позволяет напрямую ранжировать пластичность: для этого нужны данные о системах скольжения, температуре и механизмах деформации. Следовательно, таблица структур служит исходной геометрической проверкой, а выбор материала требует отдельной оценки эксплуатационных свойств.
Первичные источники и область использования
- IUCr — CIF core: расчётная плотность кристалла: определение плотности через атомное содержимое и объём ячейки.
- IUCr — checkCIF DENSD01: проверка согласованности молярной массы, числа формульных единиц и объёма.