Статика и динамика отвечают на разные вопросы
Статическая характеристика связывает установившиеся вход и выход. Её наклон в рабочей точке определяет локальный коэффициент передачи K. Динамическая характеристика показывает, как объект проходит между состояниями: с какой задержкой начинается реакция, как быстро она развивается, появляются ли колебания. Два нагревателя могут давать одинаковое установившееся повышение температуры на киловатт, но существенно различаться по времени выхода на режим.
Для малых отклонений линейного стационарного объекта передаточная функция определяется как G(s) = Y(s)/U(s) при нулевых начальных отклонениях. Это отношение преобразований Лапласа, а не отношение текущих отсчётов y(t)/u(t). Оно относится к модели и выбранным входу и выходу. Начальное состояние учитывают отдельно, например в модели пространства состояний. Переходная характеристика — реакция на ступень входа; частотная — реакция на гармоническое воздействие после затухания начального переходного процесса.
Простые структуры и их границы
| Модель | Передаточная функция | Характерная реакция |
|---|---|---|
| Апериодическое звено | K/(τs + 1) | Монотонный выход к новому уровню |
| Интегрирующее звено | K/s | Рост выхода при постоянном входе |
| Чистое запаздывание | exp(−θs) | Сдвиг сигнала во времени |
| Второй порядок | Kωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) | Реакция зависит от демпфирования ζ |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
τ и θ измеряются во времени, ωₙ — в рад/с. Для первого порядка τ — время достижения 63,21% полного изменения после начала реакции. Запаздывание θ не заменяется увеличением τ: задержка добавляет фазовый сдвиг −ωθ без уменьшения модуля. Реальные процессы могут сочетать несколько инерций и задержек; выбор простейшей структуры требует проверки остаточной ошибки.
Условный ступенчатый опыт
Пусть температура изменяется согласно G(s) = 3 exp(−4s)/(12s + 1), где K = 3 °C/кВт, τ = 12 с, θ = 4 с. Из исходного установившегося режима увеличивают мощность на 2 кВт и принимают неизменную тепловую нагрузку. Полное изменение температуры равно KΔu = 6 °C. До 4 с выход не изменяется; далее Δy(t) = 6[1 − exp(−(t − 4)/12)]. В момент 16 с прирост равен 3,7927 °C.
Достижение 95% изменения требует t = θ − τ ln(0,05) = 39,9488 с от подачи ступени. Время от фактического начала реакции составляет 35,9488 с. При частоте 0,1 рад/с модуль G равен 3/√(1 + 1,2²) = 1,9206 °C/кВт, а фаза — −arctan(1,2) − 0,4 = −1,2761 рад, то есть −73,112°. Здесь отдельно видны инерционный и задержанный вклады; считать фазу только по постоянной времени было бы ошибкой.
Как получить параметры без ложной точности
В опыте сохраняют фактическое воздействие, а не только задание приводу. Записывают время, исходный режим, масштаб измерений и внешние условия. Ступень должна быть различима на фоне шума, но оставаться допустимой для процесса. Повторение опыта вверх и вниз помогает заметить нелинейность, гистерезис и изменение коэффициента передачи. Отсчёты до и после перехода нужны для оценки исходного уровня и конечного значения.
Передаточная функция не является готовой имитацией установки. Для расчёта траектории задают вход, начальные состояния, длительность и численную процедуру; для нелинейной модели добавляют ограничения и зависимости параметров. Проверяют модель на независимом фрагменте данных и в интересующей полосе частот. Совпадение одной ступенчатой кривой ещё не подтверждает пригодность модели при другом режиме, а хорошая статика не гарантирует правильного описания быстрого движения.
Первичные источники
- MathWorks: tf — Представление передаточной функции.
- MathWorks: Analyze Control Systems with Delays — Динамические модели с запаздыванием.