Устойчивость проверяют до качества
Устойчивая система может регулировать медленно или с недопустимым перерегулированием. Хорошо выглядящий короткий участок записи, напротив, может скрывать медленно растущее колебание. Для непрерывной конечномерной линейной модели внутренняя асимптотическая устойчивость требует отрицательных действительных частей всех полюсов; для дискретной — расположения полюсов внутри единичного круга. Сокращение одинаковых множителей в передаточной функции способно скрыть внутреннюю неустойчивую моду, поэтому проверяют также реализацию модели.
Для нелинейного процесса такой вывод обычно относится к окрестности рабочей точки. Насыщение, переключения и изменение нагрузки требуют отдельной проверки. Запаздывание нельзя просто исключить из модели: у системы с задержкой иной характеристический спектр. Численная аппроксимация задержки также требует проверки того, что её порядок и диапазон применимы к рассматриваемой петле.
Как задают показатели перехода
| Показатель | Определение | Что фиксировать |
|---|---|---|
| Статическая ошибка | r∞ − y∞ | Задание и возмущение |
| Перерегулирование | Превышение конечного изменения, % | Исходный и конечный уровни |
| Время нарастания | Проход заданного диапазона изменения | Например, 10–90% |
| Время регулирования | Вход в полосу без последующего выхода | Ширина полосы и длительность наблюдения |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Полосу времени регулирования задают относительно полного установившегося изменения либо в абсолютных единицах процесса. Это разные требования. Для шумного измерения заранее определяют фильтрацию и правило оценки. Если запись ещё не достигла установившегося состояния, её последний отсчёт нельзя без проверки принимать за конечное значение: показатели будут зависеть от длины записи.
Условный пример второго порядка
Рассмотрим замкнутую модель T(s) = 4/(s² + 2s + 4) без задержки и насыщения, с нулевыми начальными отклонениями. Здесь ωₙ = 2 рад/с, ζ = 0,5, полюсы −1 ± j√3 с⁻¹. При единичной ступени выход стремится к единице, статическая ошибка равна нулю. Перерегулирование вычисляется как 100 exp(−πζ/√(1 − ζ²)) = 16,3034%, а первый максимум наступает через π/(ωₙ√(1 − ζ²)) = 1,8138 с. Значение максимума — 1,1630.
Для этой модели модуль отклонения от конечного значения ограничен огибающей exp(−t)/√0,75. Поэтому t ≥ −ln(0,02√0,75) = 4,0559 с гарантирует нахождение в полосе ±2%. Это достаточная оценка по огибающей, а не точное время последнего пересечения полосы; точный показатель определяют по полной временной реакции. Часто применяемая приближённая формула 4/(ζωₙ) здесь дала бы 4 с, но не является строгим критерием.
Задержка и запас устойчивости
Отдельный условный контур L(s) = k exp(−θs)/s с отрицательной единичной связью показывает роль задержки особенно ясно. При k > 0 и θ ≥ 0 он устойчив при kθ < π/2. Для k = 1 с⁻¹ критическая задержка равна 1,5708 с. При θ = 1 с условие выполнено, при θ = 1,6 с — уже нет. Это результат именно для указанного интегрирующего контура; переносить его на произвольный объект нельзя.
На реальной петле рассчитывают запасы по усилению, фазе и дополнительному запаздыванию с учётом всех существенных пересечений. Положительный отдельный запас не заменяет проверки исходной замкнутой устойчивости. Итоговые требования включают допустимое движение исполнительного механизма и реакции на возмущения, потому что быстрый выход ценой перегрузки привода не обеспечивает пригодного режима.
Первичные источники
- MathWorks: stepinfo — Определения показателей ступенчатой реакции и настраиваемые пороги.
- MathWorks: allmargin — Запасы усиления, фазы и задержки для отрицательной обратной связи.