Проекции сохраняют координаты, но теряют глубину
Ортогональная проекция точки получается пересечением перпендикуляра из точки с плоскостью проекций. Для координатной проверки примем горизонтальную плоскость Π₁ = xy, фронтальную Π₂ = xz, профильную Π₃ = yz. Точка A(x;y;z) имеет проекции A₁(x;y), A₂(x;z), A₃(y;z). Это записи координат в собственных плоскостях; размещение этих проекций на листе требует принятой развёртки.
В учебном эпюре для первой четверти обычно фронтальную проекцию размещают над осью x, горизонтальную — под ней. Тогда экранные координаты горизонтальной точки удобно записывать (x;−y), а фронтальной (x;z). Минус относится к развёртке листа, а не означает отрицательную пространственную координату y. Если это различие не оговорить, задача превращается в угадывание знаков.
Точка и прямая: численный пример
Пусть A(20;15;30), B(60;45;50), все координаты в миллиметрах. Получим A₁(20;15), B₁(60;45), A₂(20;30), B₂(60;50). На развёртке A₁ размещается в (20;−15), B₁ — в (60;−45). Соответствующие проекции каждой точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси x: у A общая абсцисса 20, у B — 60.
Разность координат B − A = (40;30;20). Натуральная длина AB = √(40² + 30² + 20²) = √2900 ≈ 53,851648 мм. Горизонтальная проекция имеет длину √(40² + 30²) = 50 мм, фронтальная — √(40² + 20²) ≈ 44,721360 мм. Наклон AB к Π₁ равен arcsin(20/√2900) ≈ 21,801°. Для натуральной величины можно построить прямоугольный треугольник с катетами A₁B₁ = 50 и разностью высот Δz = 20.
Как построить и проверить
- Запишите пространственные координаты и назовите плоскости проекций. Для эпюра задайте направление положительных осей.
- Постройте две проекции каждой точки, сохранив общую координату x и линии связи.
- Соедините A₁ с B₁ и A₂ с B₂. Эти две линии задают проекции прямой, если исходные точки различны.
- При необходимости постройте профильные точки A₃(15;30), B₃(45;50), согласовав перенос глубины.
- Проверьте натуральную длину по координатам либо прямоугольному треугольнику.
Для точки M на AB используйте одинаковый параметр t во всех координатах: M = A + t(B − A). При t = 0,25 получаем M(30;22,5;35). Её горизонтальная и фронтальная проекции делят соответствующие невырожденные отрезки в одинаковом отношении 1:3. Это хороший контроль принадлежности. Если одна проекция отрезка вырождается в точку, отношение на ней измерять нельзя; используют другую проекцию или параметр.
Частные положения
| Условие | Положение | Результат |
|---|---|---|
| Δz = 0 | Прямая параллельна Π₁ | На Π₁ видна натуральная длина |
| Δy = 0 | Прямая параллельна Π₂ | На Π₂ видна натуральная длина |
| Δx = Δy = 0 | Прямая перпендикулярна Π₁ | Горизонтальная проекция — точка |
| Δx = 0 | Прямая параллельна Π₃ | Профильная проекция показывает натуральную длину |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Ошибки и первичная база
Одна проекция не определяет точку в пространстве: остаётся целая проецирующая прямая. Две проекции требуют согласования общих координат. Ошибка также возникает, если соединить A₁ с B₂ или считать длину любой проекции длиной детали. Для профильной прямой две её проекции могут оказаться неудобными для восстановления отношения точек — третья проекция снимает неоднозначность.
Историческая первичная база: Гаспар Монж, Géométrie descriptive, Paris: Baudouin, [1798], ETH-Bibliothek, Rar 5465, раздел I, §§ 2–9, с. 5–15. Численные координаты и проверки приведены как самостоятельный учебный пример. ISO 5456-2:1996 относится к оформлению ортогональных представлений, а не заменяет доказательство координатных формул.