Какие данные однозначно задают плоскость
Плоскость можно задать тремя неколлинеарными точками, прямой и точкой вне неё, двумя пересекающимися прямыми или двумя различными параллельными прямыми. Во всех случаях важно условие независимости данных. Три точки на одной прямой задают только прямую; через неё проходит бесконечно много плоскостей. Две скрещивающиеся прямые одной плоскости не задают.
В координатах плоскость записывают Ax + By + Cz = D, где нормаль n = (A;B;C) ненулевая. Умножение всех коэффициентов на одно ненулевое число не меняет плоскость. Параметрическое представление P + tu + sv задаёт плоскость только при независимых направлениях u и v, то есть u × v ≠ 0.
Численный пример по трём точкам
Пусть P(0;0;10), Q(20;0;0), R(0;30;0), координаты в миллиметрах. Получим u = Q − P = (20;0;−10), v = R − P = (0;30;−10). Их векторное произведение равно (300;200;600). После деления на 100 нормаль n = (3;2;6), а n·P = 60. Искомая плоскость: 3x + 2y + 6z = 60.
Точка M(10;7,5;2,5) лежит в плоскости: 3·10 + 2·7,5 + 6·2,5 = 30 + 15 + 15 = 60. Точка N(10;7,5;3) не лежит: левая часть равна 63. При этом расстояние N до плоскости составляет |63 − 60|/√(3² + 2² + 6²) = 3/7 ≈ 0,428571 мм, а не 3 мм. Алгебраический остаток становится расстоянием лишь после деления на длину нормали.
Построение следов
След плоскости — линия её пересечения с плоскостью проекций. Для горизонтального следа принимают z = 0: получаем 3x + 2y = 60, линия проходит через Q(20;0;0) и R(0;30;0). Для фронтального следа y = 0: 3x + 6z = 60, линия проходит через P(0;0;10) и Q. Следы имеют общую точку на оси x при x = 20. Их положение в развёртке строят с принятой ориентацией осей.
| Исходные данные | Условие | Проверка |
|---|---|---|
| P, Q, R | Не лежат на одной прямой | (Q − P) × (R − P) ≠ 0 |
| Прямая и P | P вне прямой | Вектор к P не коллинеарен направлению |
| Две пересекающиеся прямые | Общая точка; направления непараллельны | Общая точка проверена в пространстве |
| Две параллельные прямые | Прямые различны | Смещение даёт второе независимое направление |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Алгоритм перехода от задания к эпюру
- Проверьте, достаточно ли независимых элементов для единственной плоскости.
- Выделите две принадлежащие ей непараллельные прямые или треугольник из трёх точек.
- Постройте согласованные проекции выбранных элементов.
- Для требуемого следа найдите две точки с нулевой координатой относительно соответствующей плоскости проекций.
- Проверьте дополнительные точки уравнением либо через принадлежность прямой, лежащей в плоскости.
Графическое условие принадлежности точки удобно проверять через вспомогательную прямую: если прямая действительно принадлежит плоскости, а точка принадлежит этой прямой, она принадлежит и плоскости. Попадание одной проекции внутрь проекции треугольника недостаточно. Кроме того, плоскость бесконечна; точка может лежать в плоскости, но вне ограниченного треугольника PQR. Для треугольной грани нужны дополнительные условия на параметры или барицентрические координаты.
Особые случаи и ошибки
Плоскость, параллельная Π₁ и не совпадающая с ней, не имеет горизонтального следа. Если она совпадает с Π₁, пересечение — вся плоскость, а не единственная линия. Плоскость через ось x может иметь совпадающие с этой осью горизонтальный и фронтальный следы; такая пара следов без дополнительной информации не задаёт её наклон. Близкие к коллинеарности точки делают численное определение нормали чувствительным к погрешностям.
Первичная база
Монж, Géométrie descriptive, [1798], ETH-Bibliothek Rar 5465, раздел I, §§ 11–13, с. 16–21 — задание плоскости и её следов. Координатный пример и остатки этой статьи — самостоятельная проверка. Для оформления ортогональных изображений: ISO 5456-2:1996; полный текст стандарта здесь не используется как источник алгебраических формул.