Общая точка прямой и плоскости
Пересечение прямой с плоскостью имеет три результата: одна точка, отсутствие общих точек либо вся прямая. Последний случай возникает, когда прямая принадлежит плоскости. Графическое решение должно различать эти случаи до того, как на эпюре появится случайный «узел» пересекающихся линий.
Пусть плоскость α задана уравнением n·X = D, а прямая a — X = P + tu, где u ≠ 0 и n ≠ 0. Подстановка даёт t(n·u) = D − n·P. Если n·u ≠ 0, параметр t = (D − n·P)/(n·u) определяет единственную точку. При нулевом знаменателе и ненулевом числителе прямая параллельна плоскости без пересечения. Если оба равны нулю, вся прямая лежит в плоскости.
Графический алгоритм через вспомогательную плоскость
- Через заданную прямую a проведите вспомогательную плоскость β, удобную для построения. Обычно выбирают проецирующую плоскость.
- Постройте линию m = α ∩ β по двум принадлежащим обеим плоскостям точкам.
- Найдите K = a ∩ m на информативной проекции.
- Перенесите K на вторую проекцию по линии связи и проверьте принадлежность обеим исходным фигурам.
- Для ограниченного отрезка или грани отдельно проверьте попадание в их границы.
Почему это работает: искомая точка принадлежит a, следовательно, принадлежит β. Одновременно она должна лежать в α; значит, находится на m. Вспомогательная плоскость не создаёт новую точку пересечения, а превращает задачу «прямая и плоскость» в задачу двух прямых в одной плоскости. Неудачный выбор β, совпадающей с α, не даст единственной линии m; тогда выбирают другую вспомогательную плоскость.
Координатный пример с контрольной подстановкой
Зададим α: x + y + z = 30 и прямую через A(0;0;0), B(20;10;30), координаты в миллиметрах. Прямая: X(t) = (20t;10t;30t). Нормаль n = (1;1;1), n·u = 60, поэтому t = 30/60 = 0,5. Получаем K(10;5;15). Проверка плоскости: 10 + 5 + 15 = 30. Проверка прямой: K — середина AB по каждой координате.
Для графического решения возьмём β: x − 2y = 0. Она содержит AB и перпендикулярна горизонтальной плоскости. Горизонтальные проекции a и m совпадают на линии y = x/2, поэтому искать их пересечение на этом виде бесполезно. На фронтальной проекции прямая a₂ имеет уравнение z = 1,5x, а линия m₂ — z = 30 − 1,5x. Их пересечение даёт x = 10, z = 15; затем по связи y = x/2 получаем y = 5.
| Проверка | Расчёт | Вывод |
|---|---|---|
| Направление относительно α | n·u = 60 | Единственное пересечение |
| Принадлежность α | 10 + 5 + 15 = 30 | Точка в плоскости |
| Принадлежность AB | t = 0,5 | Точка внутри отрезка |
| Горизонтальный вид | a₁ и m₁ совпадают | Нужен фронтальный вид |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Особые случаи и устойчивость
Для той же α прямая P(0;0;0) + t(1;−1;0) параллельна ей: сумма координат всегда ноль. Прямая P(30;0;0) + t(1;−1;0) целиком принадлежит α: сумма всегда 30. В этих случаях деление на n·u невозможно и не должно маскироваться выдачей огромного численного параметра.
При почти параллельном направлении знаменатель мал относительно |n||u|, поэтому небольшая погрешность исходных данных сильно сдвигает пересечение. Результат далеко за концами заданного отрезка может быть правильным для бесконечной прямой, но неприменимым к реальной детали. Для грани после нахождения K проверяют её положение внутри многоугольника; принадлежность несущей плоскости недостаточна.
Первичная база
Гаспар Монж, Géométrie descriptive, [1798], ETH-Bibliothek Rar 5465, раздел I, §§ 14–22, с. 21–29 — элементарные задачи о прямой и плоскости. Пример, векторная формула и все остатки здесь самостоятельные. ISO 5456-2:1996 задаёт контекст ортогонального изображения; его полная нормативная сверка не заявляется.