Принадлежность поверхности проверяют в пространстве
Точка, попавшая внутрь очерка поверхности на одном виде, может находиться перед ней, за ней или внутри тела. Для проверки принадлежности нужен общий геометрический элемент: образующая, параллель поверхности вращения либо уравнение поверхности. Самый удобный путь для цилиндра, конуса, сферы и тора с вертикальной осью — горизонтальное сечение на высоте заданной точки.
Примем ось вращения за z, начало координат — по указанной для каждой поверхности схеме, а ρ = √(x² + y²) — расстояние до оси. Все размеры ниже в миллиметрах. Это специальная ориентация: для наклонной оси сначала переходят в связанную с поверхностью систему координат или строят подходящую вспомогательную проекцию.
Алгоритм восстановления второй проекции
- По известной проекции определите высоту z и другую известную координату точки.
- Постройте горизонтальное сечение поверхности на этой высоте. Обычно оно является окружностью; для тора окружностей может быть две.
- На горизонтальной проекции пересеките окружность с линией связи известной координаты. Отберите все возможные решения.
- Перенесите найденные точки на остальные виды и проверьте уравнением поверхности.
- Уточните ветвь и видимость по условию задачи: «передняя» и «задняя» точки могут иметь одинаковую фронтальную проекцию.
Цилиндр и конус
Для боковой поверхности прямого кругового цилиндра радиуса R = 5 уравнение x² + y² = 25. Пусть цилиндр ограничен высотами 0 ≤ z ≤ 20. Точка C(3;4;12) принадлежит боковой поверхности: 9 + 16 = 25 и высота допустима. При известных x = 3 и z = 12 возможны две точки с y = ±4. Точка (0;0;12) внутри тела, но на боковой поверхности не лежит.
Для конуса с основанием радиуса R = 10 в z = 0 и вершиной z = H = 20 радиус параллели r(z) = R(1 − z/H), при 0 ≤ z ≤ H. На высоте 12 радиус равен 4. Точка K(0;4;12) лежит на боковой поверхности. Проверка: x² + y² = 16 = 10²(1 − 12/20)². Если использовать уравнение без ограничения высоты, оно описывает продолжения двойного конуса, а не только заданную конечную поверхность.
Сфера и тор
Для сферы радиуса 10 с центром в начале координат x² + y² + z² = 100. Сечение z = 6 имеет радиус √(100 − 36) = 8. Точка S(0;8;6) принадлежит сфере. При |z| > 10 действительных точек нет; при z = ±10 сечение вырождается в полюс и две ветви решения сливаются.
Для кольцевого тора с большим радиусом R = 10, радиусом образующей окружности r = 3 и осью z уравнение (ρ − R)² + z² = r². Здесь R > r: это именно кольцевой тор. При z = √5 ≈ 2,236068 получаем (ρ − 10)² = 4, значит, ρ = 12 или 8. Точки T₁(12;0;√5) и T₂(8;0;√5) лежат на внешней и внутренней ветвях одного горизонтального сечения.
| Поверхность | Радиус сечения | Высота примера | Контрольная точка |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | 5 | 12 | (3;4;12) |
| Конус | 10(1 − z/20) | 12 | (0;4;12) |
| Сфера | √(100 − z²) | 6 | (0;8;6) |
| Тор | 10 ± √(9 − z²) | √5 | (12;0;√5), (8;0;√5) |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Ошибки и ограничения
На торе нельзя оставлять только внешнюю окружность: внутренняя ветвь даёт другие точки. При |z| > 3 сечение пусто, при |z| = 3 две окружности совпадают с радиусом 10. Для R ≤ r меняются тип тора и условия отбора радиусов; таблица кольцевого тора без проверки туда не переносится.
Основания цилиндра и конуса — отдельные части границы конечного тела. Точка внутри диска основания может лежать на границе тела, хотя не удовлетворяет уравнению боковой поверхности. Видимость определяется направлением взгляда и перекрытием поверхностью, а не только знаком координаты. Уравнения дают точную идеальную геометрию; для измерений нужен согласованный допуск.
Первичная база
Монж, Géométrie descriptive, [1798], ETH-Bibliothek Rar 5465, разделы II–III, с. 29–86 — поверхности и использование вспомогательных пересечений. Современные координатные формулы, параметры тора и численные примеры этой статьи выведены самостоятельно; они не приписываются историческому тексту. Для ортогонального представления: ISO 5456-2:1996.