Пересечение прямой с поверхностью

Коротко

Пересечение прямой с поверхностью находят через вспомогательную плоскость, содержащую прямую: сначала строят сечение поверхности этой плоскостью, затем пересекают сечение с исходной прямой. Совпадение линий на одном виде ещё не доказывает пространственное пересечение. Для каждой найденной точки нужны согласованные проекции и проверка принадлежности поверхности.

Выбор секущей плоскости

Для цилиндра полезна плоскость, параллельная его оси: сечение боковой поверхности даёт прямые образующие. Для конуса выбирают плоскость через вершину, если она одновременно содержит исследуемую прямую: сечение состоит из образующих. Для сферы любое плоское сечение является окружностью, но её удобнее строить в натуральной величине. Плоскость нельзя произвольно менять после получения одной точки: обе точки должны принадлежать одному исходному пространственному объекту.

Таблицу можно прокручивать по горизонтали →

Порядок построения

Задайте прямую двумя точками A и B на двух проекциях. Проведите через неё вспомогательную плоскость и определите её следы либо две принадлежащие ей пересекающиеся прямые. Постройте линию сечения поверхности. На информативной проекции найдите пересечения прямой с этой линией; перенесите их на другой вид по линиям связи. Проверьте положение каждой точки относительно оси, основания и ограничивающих плоскостей тела. После этого определяйте видимость, сравнивая глубину конкурирующих точек на одном проекторе.

Численный пример: конечный цилиндр

Пусть боковая поверхность задана x²+y²=25 мм², высота 0≤z≤8 мм, а прямая — x=−8+2t, y=3, z=1+t. Подстановка даёт (−8+2t)²=16 и корни t=2 и t=6. Получаем P₁=(−4;3;3) мм и P₂=(4;3;7) мм. Обе точки лежат в заданном диапазоне высоты. Если ту же прямую ограничить отрезком 0≤t≤4, допустима только P₁: второй корень относится к продолжению отрезка. Это пример, рассчитанный для статьи, а не нормативная геометрия детали.

Особые случаи

Нулевой дискриминант соответствует касанию квадрики, отрицательный — отсутствию вещественного пересечения с данной боковой поверхностью. Прямая, совпадающая с образующей цилиндра, имеет бесконечно много общих точек боковой поверхности; конечный участок дополнительно ограничивается основаниями. Если исследуется замкнутый цилиндр, надо отдельно проверить пересечение с дисками z=0 и z=8. Корни уравнения бесконечной поверхности нельзя автоматически назвать точками входа и выхода конечного тела.

Практическая проверка

В CAD удобно независимо вычислить координаты, а затем измерить расстояние точки до оси цилиндра. Оно должно равняться радиусу с выбранной точностью. На чертеже близкие корни требуют увеличенного масштаба или аналитической проверки: толщина линии может скрыть разницу между касанием и двумя пересечениями. Допуск вычислений назначают относительно размеров модели, а не одинаковым числом для миллиметровой детали и строительного объекта.

Дополнительная проверка

При очень малом дискриминанте округляйте только итоговые координаты. Преждевременное округление направления прямой может изменить число корней и ошибочно превратить секущую в касательную. Проверяйте обе невязки: принадлежность прямой и принадлежность поверхности. Если задана только одна проекция прямой, задача не определена: множество пространственных прямых имеет одинаковое изображение. Для корректного решения нужны вторая проекция, координаты либо дополнительные условия положения. Видимость устанавливают для выбранного направления наблюдения; обозначения входа и выхода требуют ещё и направления движения по прямой.