Эпюры Q и M

Эпюры как запись равновесия

Эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M показывают внутренние усилия вдоль балки. Они нужны, чтобы найти опасное сечение, составить расчёт напряжений и определить перемещения. Начинать построение следует со схемы внешних сил и реакций опор. Угадывание формы эпюры без уравнений равновесия часто приводит к неверному знаку или пропущенному скачку в месте сосредоточенной нагрузки.

Здесь координата x направлена слева направо. Распределённая нагрузка q считается положительной вниз, положительный момент M растягивает нижние волокна. Для левой отсечённой части положительная внутренняя сила Q направлена вниз на правой грани разреза; внутренний положительный момент направлен против часовой стрелки. Эта договорённость даёт связи dM/dx = Q и dQ/dx = −q. Все дальнейшие знаки относятся именно к ней.

Как читать форму эпюры

На участке без распределённой нагрузки Q постоянна, а M изменяется линейно. При постоянной q эпюра Q становится наклонной прямой, эпюра M — параболой. Там, где Q обращается в ноль внутри гладкого участка, момент имеет стационарное значение; следует проверить, является ли оно максимумом или минимумом. Экстремум также может возникнуть в точке скачка Q, когда сила меняет знак.

Таблицу можно прокручивать по горизонтали →

Пример: центральная сила

Балка длиной L = 2 м опирается слева на неподвижный шарнир A и справа на подвижную опору B. Сила P = 10 кН направлена вниз в середине пролёта, при x = 1 м. Собственный вес в этом примере исключён. Горизонтальная реакция равна нулю. Из суммы моментов относительно A получаем RB·2 − 10·1 = 0, откуда RB = 5 кН. Из вертикального равновесия RA + RB − P = 0 следует RA = 5 кН.

На левом участке 0 < x < 1 м: Q = +5 кН и M = 5x кН·м, если x подставлен в метрах. На правом участке 1 < x < 2 м: Q = 5 − 10 = −5 кН, M = 5x − 10(x − 1) = 10 − 5x кН·м. В точке силы Q имеет разные односторонние значения, поэтому приписывать ей единственное значение без уточнения стороны нельзя.

Момент непрерывен в середине и достигает Mmax = 5 кН·м. В концах M(0) = M(2) = 0. Площадь под Q на левой половине составляет +5 кН·м, на правой −5 кН·м: это изменение момента между соответствующими сечениями. Суммарная площадь равна нулю и согласуется с одинаковыми нулевыми концевыми моментами.

Контроль чисел и единиц

Подстановка x = 0,5; 1; 1,5 м даёт моменты 2,5; 5; 2,5 кН·м. Эти значения и реакции проверены Python непосредственно по кусочным формулам. При переходе к расчёту напряжений в миллиметрах максимальный момент нужно заменить на 5 000 000 Н·мм. Нельзя делить значение в кН·м на момент сопротивления в мм³ без преобразования единиц: численный результат потеряет физический смысл.

Построение для более сложной схемы

Разбейте балку на участки по опорам, сосредоточенным силам, приложенным парам и границам распределённых нагрузок. Для каждого участка запишите Q(x) и M(x) через силы на одной стороне разреза. На границе указывайте левые и правые значения. Распределённую нагрузку заменяйте равнодействующей только при вычислении реакций или усилия в конкретном сечении; для формы эпюры нужно сохранить её зависимость от координаты.

У промежуточной опоры непрерывной балки момент обычно не равен нулю: опора запрещает перемещение, но не разрывает сечение. Нулевой момент связан с шарнирным соединением либо граничным условием свободного поворота на конце. В статически неопределимой системе реакции сначала находят с учётом совместности деформаций, и лишь затем строят эпюры обычным методом сечений.

Полезно выполнять три независимых контроля: равновесие всей балки, скачки в местах приложенных сил и интегральную связь между площадью Q и изменением M. Если один из них нарушен, исправляйте исходные уравнения, а не рисунок. Эпюра должна быть следствием расчёта. Масштабы Q и M выбирают отдельно и обязательно подписывают единицы, чтобы высоты двух разных диаграмм не сравнивали как одинаковые величины.

Первичные источники и границы проверки

Материалы ниже служат источниками теории. Численный пример — самостоятельный расчёт FitsCalc; нормативное соответствие изделия по нему не заявляется.

1. David Roylance — Shear and Bending Moment Diagrams