Статическая неопределимость и метод сил

Почему равновесия недостаточно

Статически неопределимой называют систему, в которой все реакции и внутренние усилия нельзя найти только из независимых уравнений равновесия. Лишние относительно определимой схемы связи делают распределение усилий зависимым от деформаций и жёсткости. Метод сил вводит неизвестные реакции или внутренние усилия этих связей, затем определяет их из условия совместности перемещений. Число неизвестных равно степени статической неопределимости выбранной модели.

Сначала следует проверить геометрическую неизменяемость и действительные ограничения опор. Плоский неподвижный шарнир запрещает два поступательных перемещения, подвижная опора — одно в своём направлении, заделка — два перемещения и поворот. Подсчёт связей без анализа их направлений недостаточен: параллельные или неудачно расположенные ограничения могут оставить механизм. Внутренний шарнир передаёт силы, но освобождает относительный поворот.

Основная система и совместность

Основную систему получают удалением выбранных лишних связей. Она должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой. В направлениях освобождённых связей прикладывают неизвестные Xj. Для линейно упругой задачи уравнения имеют вид Σ δij Xj + ΔiP = Δiзад. Здесь ΔiP — перемещение основной системы от заданной нагрузки, δij — перемещение по направлению i от единичного усилия j, Δiзад — заданное перемещение исходной связи.

Знаки всех перемещений задают в тех же направлениях, что и Xj. Если опора неподвижна, правое значение равно нулю. При осадке или перемещении опоры оно не равно нулю и должно быть записано со знаком. Для пружинной опоры нужно включить её податливость: считать её жёсткой связью допустимо только при соответствующем обосновании. Температурные деформации и ошибки изготовления также могут входить как дополнительные свободные перемещения.

Таблицу можно прокручивать по горизонтали →

Пример: консоль с подпоркой

Балка длиной L = 2 м имеет заделку A слева и вертикальную шарнирную подпорку B справа. На всей длине действует постоянная нагрузка q = 4 кН/м вниз. Предполагаются постоянная изгибная жёсткость EI = 2000 кН·м², отсутствие осадки, линейная упругость и пренебрежимо малые сдвиговые деформации. Подпорка передаёт вертикальную силу, не передаёт момент и не добавляет горизонтальную связь.

Выберем неизвестную X = RB положительной вверх и удалим подпорку. Основная система — консоль. Положительное перемещение конца также направим вверх. От нагрузки вниз получаем ΔP = −qL⁴/(8EI) = −0,004 м. Податливость конца от единичной силы вверх равна δ = L³/(3EI) = 0,00133333 м/кН. Условие неподвижного конца δRB + ΔP = 0 даёт RB = 3qL/8 = 3 кН.

Вертикальная реакция заделки RA = qL − RB = 5 кН. Внешний реактивный момент заделки, положительный против часовой стрелки, равен CA = qL²/2 − RB L = 2 кН·м. Внутренний момент у заделки при положительном прогибающем изгибе равен M(0) = −2 кН·м; путать его со знаком внешней реактивной пары нельзя. Для x в метрах M(x) = −2 + 5x − 2x² кН·м и Q(x) = 5 − 4x кН.

Проверка даёт M(2) = 0, Q(2−) = −3 кН и скачок +3 кН от подпорки. При x = 1,25 м поперечная сила равна нулю, а момент достигает +1,125 кН·м. Абсолютный максимальный момент равен 2 кН·м у заделки. Реакции, совместность, экстремум и концевые значения независимо вычислены Python.

Если подпорка осела

Пусть правая опора переместилась вниз на s = 1 мм, то есть Δзад = −0,001 м в принятом направлении вверх. Уравнение становится δRB − 0,004 = −0,001. Получаем RB = 2,25 кН, RA = 5,75 кН и CA = 3,5 кН·м. Осадка уменьшила реакцию подпорки, что согласуется с физическим смыслом. Если расчёт даст отрицательную реакцию односторонней опоры, необходимо проверить отрыв и изменить контактную схему.

Податливости и область модели

Для балки с изгибными деформациями коэффициенты вычисляют интегралом δij = ∫MiMj/(EI) dx, а грузовое перемещение — ∫MiMP/(EI) dx. При существенных продольных, крутильных или сдвиговых деформациях добавляют соответствующие энергетические слагаемые. На каждом участке используют его фактическую жёсткость; постоянное EI нельзя подставлять для ступенчатой балки без проверки.

После решения полезно проверить симметрию матрицы податливости, равновесие реакций и выполнение каждого ограничения. Малые невязки от округления отделяют от неправильного выбора знаков. Если материал пластичен, опоры меняют контакт или перемещения велики, линейная суперпозиция уже не описывает систему. Метод сил остаётся прозрачным способом анализа, когда основная схема, направления неизвестных и условия совместности заданы явно.

Первичные источники и границы проверки

Материалы ниже служат источниками теории. Численный пример — самостоятельный расчёт FitsCalc; нормативное соответствие изделия по нему не заявляется.

1. Felix F. Udoeyo — Structural Analysis, глава 10