Выбор осевой модели
Растяжение и сжатие стержня рассматривают через продольную силу N, возникающую в поперечном сечении. Сначала определяют реакции опор и делают мысленный разрез, затем записывают равновесие отсечённой части. Именно найденное внутреннее усилие подставляют в формулы напряжений и удлинения. Заменять его суммой модулей всех внешних сил нельзя: разные участки могут нести разные усилия и иметь разные знаки.
Базовая схема — прямой стержень постоянного сечения из однородного линейно-упругого материала. Равнодействующая нагрузки проходит через центр тяжести сечения, деформации малы, поперечные поверхности свободны. Вдали от мест приложения нагрузки нормальное напряжение принимают равномерным по сечению. Возле захвата, резьбы, ступени или отверстия распределение становится локально неоднородным.
Напряжение и перемещение
Для постоянных N, E и A получаем σ = N/A и ΔL = NL/(EA). Растяжение считаем положительным, сжатие отрицательным. Если усилие, площадь или модуль изменяются по длине, используют ΔL = ∫N(x)/[E(x)A(x)] dx. Для ступенчатого стержня интеграл заменяется суммой вкладов участков. Изменение длины всего элемента не обязательно равно перемещению любой его точки: требуется учитывать положение опоры и накопление деформации до выбранного сечения.
| Проверяемая величина | Выражение | Что нужно знать |
|---|---|---|
| Номинальное напряжение | σᵢ = Nᵢ/Aᵢ | Усилие и площадь участка |
| Изменение длины | ΔLᵢ = NᵢLᵢ/(EᵢAᵢ) | Длина и модуль |
| Жёсткость участка | kᵢ = EᵢAᵢ/Lᵢ | Геометрия и материал |
| Полное изменение | ΔL = ΣΔLᵢ | Знаки всех вкладов |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Пример ступенчатого стержня
Стержень закреплён слева и растягивается справа силой 30 кН. Промежуточных нагрузок нет. Первый участок имеет L₁ = 400 мм и A₁ = 300 мм², второй — L₂ = 600 мм и A₂ = 200 мм². Для обоих задано E = 200 000 МПа. Из равновесия N₁ = N₂ = 30 000 Н. Напряжения составляют соответственно 100 и 150 МПа.
Удлинение первого участка равно 30 000 × 400/(200 000 × 300) = 0,20 мм, второго — 30 000 × 600/(200 000 × 200) = 0,45 мм. Правый конец смещается на 0,65 мм. Меньшая площадь второго участка одновременно повышает напряжение и податливость. Если допуск на перемещение равен 0,50 мм, выбранная геометрия не выполняет требование жёсткости независимо от того, допустимы ли напряжения.
При обращении той же силы в сжимающую номинальные напряжения и изменение длины поменяют знаки: −100 МПа, −150 МПа и −0,65 мм. Но вывод о работоспособности нельзя просто перенести из растяжения. Сжатый элемент может потерять устойчивость и начать изгибаться до достижения предела текучести; длина и закрепления здесь принципиально важны.
Нагрузки между концами
При приложении сосредоточенной силы в промежуточной точке эпюра N скачком меняется на величину этой силы с учётом принятого знака. При распределённой осевой нагрузке N меняется непрерывно. Собственный вес вертикального стержня означает, что верхнее сечение несёт большее усилие, чем нижнее. Формула с одной постоянной N для всей длины тогда требует обоснованного приближения.
Статически неопределимый стержень, закреплённый с двух концов, требует условий совместности. Уравнений равновесия недостаточно для нахождения обеих реакций. Задают допустимое суммарное перемещение между опорами и учитывают деформации каждого участка. При температурном изменении добавляют свободные температурные удлинения; при неподвижных опорах их сумма компенсируется механическими деформациями.
Прочность отдельно от жёсткости
Прочность оценивают по напряжению с допустимыми значениями для конкретного материала, вида нагрузки и принятого метода проектирования. Жёсткость проверяют по перемещению, заданному работой механизма или сопряжений. Увеличение E уменьшает удлинение при той же нагрузке, но само по себе не снижает напряжение N/A в статически определимой схеме. Увеличение площади снижает обе величины.
При выборе площади важно различать брутто- и нетто-сечение. Отверстие или резьба уменьшает несущую площадь, а выточка дополнительно создаёт концентрацию напряжений. Изменение сечения нельзя учитывать только как геометрическую поправку, если опасное место испытывает циклические нагрузки: понадобятся характеристики усталости и оценка местного состояния.
Результат оформляют вместе со схемой: координаты нагрузок, длины участков, площади, реакции, знаки усилий и материал. Округление выполняют после суммирования деформаций. Контроль равновесия всей конструкции и каждого разреза позволяет выявить пропущенную нагрузку; контроль размерности исключает частую ошибку в тысячу раз между килоньютонами и ньютонами.
Первичный источник
- David Roylance, MIT: Introduction to Elasticity — осевое напряжение, упругое удлинение и влияние собственного веса.