Метод Мора

Что даёт метод Мора

Метод Мора позволяет найти заданное перемещение, не вычисляя всю линию прогиба. Он удобен, когда нужен прогиб в конкретной точке балки, угол поворота сечения или податливость рамы. Основой служит принцип виртуальных работ: внутренние усилия от настоящей нагрузки сопоставляют с усилиями от вспомогательного единичного воздействия. Результат относится к выбранной точке и направлению, поэтому постановка задачи начинается с вопроса, какое именно перемещение требуется определить.

Для линейно упругой балки при малых перемещениях, когда учитывается только изгиб, используют δ = Σ∫ M(x)m(x)/(E(x)I(x)) dx. Здесь M — изгибающий момент от действительных нагрузок, а m — моментная функция от единичной силы, направленной вдоль искомого перемещения. Суммирование охватывает все стержни и участки. Для угла поворота прикладывают единичный момент и получают θ. Буква m обозначает вспомогательную функцию, а не ещё одну действительную нагрузку.

Грузовая и единичная системы

В грузовой системе сохраняют реальные силы, распределённую нагрузку и моменты. Сначала находят реакции, затем записывают M(x) на каждом участке. В единичной системе внешние действительные нагрузки снимают, но геометрию и опорные связи сохраняют. В нужной точке прикладывают единичную силу или момент, вычисляют новые реакции и функцию m(x). Изменение опоры ради упрощения второй системы меняет задачу и обычно делает результат неверным.

Обе эпюры должны использовать согласованные знаки изгиба. Положительный результат означает перемещение по направлению единичного воздействия; отрицательный — против него. Поэтому отрицательный интеграл не следует исправлять модулем до интерпретации. Если нагрузка приложена внутри пролёта, жёсткость меняется ступенчато или имеются сосредоточенные моменты, интегрирование разделяют в соответствующих точках. Разрывы формул нельзя скрывать одной усреднённой эпюрой.

Таблицу можно прокручивать по горизонтали →

Числовой пример: консоль

Рассмотрим идеальную консоль длиной L = 1000 мм с постоянным моментом инерции I = 1 000 000 мм⁴. На свободном конце действует поперечная сила P = 1000 Н. Для учебного расчёта принимаем E = 210 000 Н/мм²: это условное значение для стали при обычной температуре, которое в проекте заменяют характеристикой выбранного материала. Найдём прогиб конца вниз, пренебрегая сдвиговой деформацией.

Координату x отсчитываем от заделки. При одинаковом выборе знаков M(x) = −P(L − x), m(x) = −(L − x). Произведение положительно. Тогда δ = P/(EI) ∫₀ᴸ(L − x)² dx = PL³/(3EI). Подстановка даёт 1000 × 1000³ /(3 × 210000 × 1000000) = 1,587302 мм. Направление совпадает с приложенной единичной силой. Максимальный момент у заделки равен 1 000 000 Н·мм; сам прогиб не подтверждает прочность этого сечения.

Для поворота конца в той же модели вспомогательная моментная функция постоянна по длине. Модуль угла получается θ = PL²/(2EI) = 0,00238095 рад, приблизительно 0,136419°. Угол достаточно мал для принятой кинематики. Удвоение силы удвоит обе величины; удвоение длины при прежней жёсткости увеличит прогиб в восемь раз. Эти зависимости дают независимую проверку порядка результата.

Когда одного изгибного интеграла недостаточно

В общем стержневом расчёте добавляют вклады продольной деформации ∫Nn/(EA) dx, кручения ∫Tt/(GJ) dx и, при необходимости, поперечного сдвига. Для короткой глубокой балки исключение сдвига способно заметно занизить прогиб. Для тонкостенного открытого профиля обычная модель свободного кручения может не описывать стеснённое коробление. Температурные деформации, осадки опор и предварительные деформации требуют отдельных членов совместности, а не искусственной замены нагрузок.

При переменных E и I их оставляют внутри интеграла. Если участок имеет трещины или нелинейное поведение, постоянную упругую жёсткость нельзя принимать без обоснования. Метод в этой форме не учитывает большие повороты, изменение схемы после потери устойчивости и пластические шарниры. В статически неопределимой системе действительные внутренние усилия предварительно получают из расчёта совместности деформаций.

Как проверить ответ

Проверяют размерность, знаки и поведение на опорах: перемещение вдоль запрещённой связи должно быть нулевым. Полезно сопоставить простую схему с интегрированием уравнения упругой линии, а сложную — с независимой численной моделью. В результатах указывают направление прогиба, точку измерения, использованные жёсткости и исключённые деформации. Допустимый прогиб берут из требований к конкретному изделию: работоспособность передачи, точность направляющих и строительные ограничения задают разные критерии.

Особенности практического применения

Единичное воздействие удобно понимать как нормировку вспомогательной задачи. Если вместо единицы приложена сила иной величины, полученную виртуальную работу необходимо разделить на эту величину; иначе ответ будет пропорционален произвольно выбранной нагрузке. При ручной работе подписывают каждую эпюру названием системы и координатой участка. Это особенно важно для рам, где местные оси соседних стержней направлены по разному.

Для балки с изменяющимся сечением сначала выбирают участки постоянной жёсткости либо задают непрерывную функцию момента инерции. Замена нескольких жёсткостей одной средней допустима только после оценки погрешности. Участок с малой жёсткостью и большим произведением моментных функций обычно даёт наиболее значительный вклад. Поэтому расположение ослабления по длине может влиять на прогиб сильнее, чем одинаковое уменьшение объёма материала в другом месте.

Первичный источник

R. Alderliesten, Introduction to Aerospace Structures and Materials: Virtual Work Method — авторский учебник, раздел о единичной системе и перемещениях. Числа выше рассчитаны для собственной условной схемы.