Материал и жёсткость детали
Закон Гука связывает напряжения с упругими деформациями в линейной области. Для одноосного напряжённого состояния σ = Eε, где E — модуль Юнга. Если напряжение удвоить в пределах применимости модели, упругая деформация тоже удвоится. Это свойство материала не следует путать с жёсткостью готовой детали: короткий толстый стержень из того же металла удлинится меньше длинного тонкого.
Для прямого призматического стержня при центральной осевой нагрузке F = kΔL, причём k = EA/L. Размерность E — напряжение, например Н/мм²; размерность k — сила на перемещение, например Н/мм. Геометрия входит в k, но не в определение E. Поэтому измеренная жёсткость узла не позволяет получить модуль материала без учёта податливости соединений и оснастки.
Условия применения
Простая связь σ = Eε описывает одноосное напряжённое состояние с малыми деформациями. Для однородного изотропного линейно-упругого материала модуль одинаков по направлениям. У древесины, слоистых композитов и ориентированных материалов ответ зависит от направления; одного числа E для всех компонент недостаточно. У резин и многих полимеров зависимость может быть нелинейной и зависеть от времени.
Упругость означает восстановление формы после разгрузки, а линейность — пропорциональность напряжения и деформации. Материал может быть упругим, но нелинейным. Предел пропорциональности и предел текучести не следует автоматически отождествлять. На практике рабочий диапазон модели задают по диаграмме и данным материала при заданной температуре.
| Состояние | Связь в линейной модели | Оговорка |
|---|---|---|
| Одноосное растяжение | εₓ = σₓ/E | Поперечные поверхности свободны |
| Поперечная деформация | εᵧ = ε𝓏 = −νεₓ | Изотропный материал |
| Чистый сдвиг | τ = Gγ | γ — инженерная деформация сдвига |
| Связь модулей | G = E/[2(1 + ν)] | Изотропная линейная упругость |
Таблицу можно прокручивать по горизонтали →
Численный пример
Зададим для учебного расчёта E = 200 ГПа и ν = 0,30. При одноосном напряжении 120 МПа продольная деформация равна 120/200 000 = 0,0006. Для базы 500 мм это даёт удлинение 0,30 мм. Поперечная деформация равна −0,00018; ширина 20 мм уменьшится на 0,0036 мм. Эти изменения малы, что соответствует геометрическим предпосылкам расчёта.
Модуль сдвига при таких исходных данных равен 76,923 ГПа. При τ = 40 МПа инженерная деформация сдвига γ = 40/76 923,077 = 0,00052 рад. В тензорной записи компонента εₓᵧ равна γ/2. Пропуск этого множителя даёт двукратную ошибку при переносе результатов между учебной формулой и программным расчётом.
Для стержня площадью 300 мм² и длиной 500 мм осевая жёсткость k = 200 000 × 300/500 = 120 000 Н/мм. Сила 36 кН создаёт то же напряжение 120 МПа и удлинение 36 000/120 000 = 0,30 мм. Проверка двумя путями связывает напряжение, относительную деформацию и перемещение и помогает обнаружить ошибку в единицах.
Почему условия закрепления меняют ответ
При пространственном напряжённом состоянии продольная деформация зависит и от поперечных напряжений: εₓ = [σₓ − ν(σᵧ + σ𝓏)]/E. Если поперечное сокращение запрещено, поперечные напряжения возникают даже без явно приложенных боковых сил. Применять одноосную формулу к полностью зажатому объёму нельзя: нужно учитывать совместность деформаций и закрепления.
Температурное расширение и механическая деформация также различаются. При равномерном нагреве свободного стержня удлинение αΔTL возникает без осевого напряжения. Если расширение ограничено, реакция опор создаёт механическую деформацию, которая компенсирует свободную температурную составляющую. В линейной постановке полная деформация складывается из этих составляющих, но закон σ = Eε применяют именно к механической части.
Контроль исходных данных
При экспериментальном определении E используют наклон линейного участка, а не отношение максимального напряжения к деформации разрушения. Измерение перемещения траверсы машины может включать податливость захватов. Для короткого образца эта добавка особенно заметна; предпочтительно измерять деформацию заданной рабочей базы и учитывать требования методики испытаний.
В расчётном протоколе указывают модуль, коэффициент Пуассона, температуру и источник данных. Значение 200 ГПа в примере является заданным параметром, а не сертификатом всех сталей. Даже точное вычисление деформации не заменяет проверку прочности, усталости или устойчивости. Закон Гука описывает отклик, а допустимость этого отклика определяется условиями работы.
Первичные источники
- David Roylance, MIT: Introduction to Elasticity — линейный упругий отклик и жёсткость.
- David Roylance, MIT: Shear and Torsion — модуль сдвига и связь упругих констант.