Замена плоскостей проекций

Коротко

Замена плоскостей проекций изменяет систему изображения, сохраняя сам объект неподвижным. Новую плоскость выбирают так, чтобы получить натуральную длину отрезка, реберный вид плоскости или натуральную форму фигуры. Это последовательное преобразование координат; размеры нельзя переносить по направлению, которое не соответствует новой линии связи.

Одна замена для прямой

Пусть горизонтальная плоскость сохраняется, а новая вертикальная плоскость перпендикулярна ей. Новую ось проводят параллельно горизонтальной проекции отрезка. Из горизонтальных проекций концов проводят проекторы перпендикулярно новой оси. На них откладывают подписанные высоты из исходного фронтального вида. Полученный отрезок даёт натуральную длину, поскольку новая вертикальная плоскость параллельна пространственной прямой.

Таблицу можно прокручивать по горизонтали →

Две замены для плоской фигуры

Чтобы получить натуральную форму произвольной плоскости, сначала сделайте её проецирующей: новая плоскость изображения должна быть перпендикулярна самой фигуре. Направление удобно задавать через горизонталь или фронталь этой плоскости. На реберном виде фигура становится прямой. Следующая плоскость, параллельная фигуре, даёт натуральную форму. Каждый переход использует координаты именно предыдущей системы: смешение исходного и уже преобразованного вида нарушает принадлежность точек.

Пример и аналитическая проверка

Отрезок имеет приращения Δx=30, Δy=40, Δz=20 мм. Его горизонтальная проекция равна 50 мм. Новая ось направлена вдоль вектора (0,6;0,8) в горизонтальной плоскости. В новых координатах приращение вдоль оси u=0,6·30+0,8·40=50 мм, поперёк неё v=−0,8·30+0,6·40=0. На новом вертикальном виде остаются приращения u=50 и z=20, поэтому натуральная длина равна √2900=53,8516 мм. Угол с горизонтальной плоскостью равен arctan(20/50)=21,8014°. На старом фронтальном виде длина √1300=36,0555 мм натуральной не является.

Знаки и расстояния

Переносите расстояния от соответствующей оси, сохраняя сторону расположения точки. Расстояние от произвольной границы листа не является координатой. Если новую ось сдвинули, длина отрезка не меняется, но абсолютные координаты его концов меняются одинаковым образом. Когда горизонтальная проекция вырождается в точку, описанная ориентация оси не определяется; выберите сохранение другой исходной плоскости либо используйте очевидное частное положение прямой.

Что сдавать вместе с построением

Обозначьте исходные и новые плоскости, оси, номера точек и направление проекторов. Зафиксируйте масштаб и цель каждой замены. Для контроля сравните длины всех рёбер до и после преобразования по трёхмерной формуле, а для плоской фигуры — её площадь в натуральном виде. Расхождение обычно указывает на неверный знак координаты, перепутанный конец или перенос расстояния не с того вида. Одна удачно совпавшая длина ещё не подтверждает всю фигуру.

Дополнительная проверка

В численном расчёте проверьте ортогональность базисных направлений: их скалярное произведение должно равняться нулю, а длины единичных векторов — единице. Эта проверка выявляет случайное масштабирование при преобразовании. Для расстояния от точки до плоскости удобна система, где плоскость видна ребром: перпендикуляр к её изображению тогда может дать натуральное расстояние при выполнении условий проецирования. Не путайте этот случай с произвольным расстоянием до линии на старом виде. Для угла между плоскостями сначала найдите подходящее сечение, перпендикулярное линии их пересечения. Произвольный угол между следами плоскостей не равен двугранному углу. Выбор преобразования начинается с измеряемой величины, а не с удобного пустого места на листе.